Makalah Transformasi

Kata Pengantar

Puji syukur kami  panjatkan kepada Allah SWT yang telah melimpahkan rahmatnya sehingga makalah pembelajaran matakuliah Geometri Analitik ini dapat selesai. Makalah ini digunakan sebagai salah satu media pembelajaran guna menunjang terlaksananya proses perkuliahan matakuliah Geometri Analitik.

Di dalam makalah pembelajaran ini terdapat “ Tranformasi Sistem Koordinat”. Yang akan kami bahas satu persatu bagian – bagian yang terdapat di dalamnya.

Makalah ini bukan satu-satunya media pembelajaran bagi mahasiswa, sehingga diharapkan didampingi dengan buku teks, handout, dan sumber lain yang relevan. Kritik dan saran yang membangun, penulis harapkan dari berbagai pihak untuk perbaikan dan penyusunan makalah berikutnya.

                                                                        Medan,        Mei  2017

                                                Penulis

 

Daftar isi

Kata Pengantar. i

Daftar isi ii

BAB I. 1

PENDAHULUAN.. 1

1.1.Latar Belakang. 1

1.2.Rumusan masalah. 1

1.3.Tujuan. 2

BAB II PEMBAHASAN.. 3

2.1. Pengertian Transformasi 3

2.2. Jenis – Jenis Transformasi 3

2.3. Sifat 12

2.4 Aplikasi Transformasi Geometri 13

BAB III. 14

PENUTUP. 14

3.1. Kesimpulan. 14

3.2. Saran. 14

DAFTAR PUSTAKA.. 15

                                                                  

BAB I

PENDAHULUAN

1.1.         Latar Belakang

Belajar matematika merupakan sebuah proses perubahan tingkah laku Individu. Belajar ilmu matematika merupakan hal yang sangat penting dan harus di jalani oleh setiap manusia. Dengan Ilmu Matematika seseorang bisa membedakan mana yang baik dan mana yang buruk, dengan Ilmu Matematika seseorang bisa membedakan mana yang boleh dan mana yang tidak boleh, dan dengan Ilmu Matematika juga seseorag bisa merumuskan tujuan hidup.

Mata pelajaran matematika merupakan yang sangat penting, dengan Ilmu Matematika kita mengetahui adanya geometri transformasi yang memuat refleksi, translasi, rotasi, dan dilatasi.

Dimana refleksi adalah pencerminan, yaitu proses mencerminkan setiap titik bangun geometri itu terhadap garis tertentu (sumbu cermin / sumbu simetri). Translasi adalah transformasi yang memindahakan setiap titik pada bidang dengan jarak dan arah tertentu. Rotasi adalah transformasi dengan cara memutar objek dengan titik pusat tertentu. Dilatasi adalah transformasi yang mengubah ukuran bangun tetapi tidak mengubah bentuknya.

Maka dari itu kami menulis makalah tentang geometri transformasi yang didalamnya memuat refleksi(pencerminan), translasi (pergeseran), rotasi (perputaran), dan dilatasi (pembesaran).

1.2.         Rumusan masalah

Dalam membuat suatu makalah masalah sangatlah penting karena adanya masalah akan memberikan penuntun bagi pembahasan selanjutnya, untuk menentukan suatu masalah hendaknya memberikan petunjuk tentang  pengumpulan data.

Adapun  masalah yang akan kami bahas dalam makalah ini adalah tentang Geometri Transformasi yang didalamnya memuat tentang refleksi(pencerminan), translasi(pergeseran), rotasi(perputaran), dan dilatasi(pembesaran).

1.3.         Tujuan

a.       Mengetahui apa itu Refleksi

b.      Mengetahui apa itu Translasi

c.       Mengetahui apa itu Rotasi

d.      Mengetahui apa itu Dilatasi

e.       Dapat memahami apa yang dimaksud dengan refleksi, translasi, rotasi, dan dilatasi dan dapat menyelesaikan soal-soal yang tentang itu

BAB II
PEMBAHASAN

 

2.1. Pengertian Transformasi

Transformasi merupakan suatu pemetaan titik pada suatu bidang ke himpunan titik pada bidang yang sama.

Jenis-jenis dari transformasi yang dapat dilakukan antara lain :

1.    Translasi (Pergeseran)

2.    Refleksi(Pencerminan)

3.    Rotasi(Perputaran)Dilatasi(Penskalaan)

Berikut ilustrasinya :

2.2. Jenis – Jenis Transformasi

1.      Translasi

Adalah pemetaan suatu titik pada atau bidang dengan cara menggeser. Misal menggeser dari kanan ke kiri, ke sumbu x positif atau sumbu y positif.

Berdasarkan gambar di atas, segitiga ABC yang mempunyai koordinat A(3, 9), B(3, 3), C(6, 3) ditranslasikan:

 menjadi segitiga A₂B₂C₂ dengan A₂ (-7,9), B₂ (-7,3), C₂ (-4,3)

 menjadi segitiga A₃B₃C₃ dengan A₃ (3,-4), B₃ (3,-10), C₃ (6,-10)

 menjadi segitiga A₄B₄C₄ dengan A₄ (-7,-4), B₄ (-7,-10), C₄ (-4,-10)

Berdasarkan penjelasan diatas, maka untuk mencari nilai translasi dapat digunakan rumus sebagai berikut :

P (x,y)   T =          P’(x+a, y+b)

dimana :

a menyatakan pergeseran horizontal (kekanan+, kekiri-)

b menyatakan pergeseran vertikal (keatas+,kebawah-)

Contoh Soal :
1.   a) Tentukan bayangan dari titik A (2, 3) oleh translasi T = (7, 8)

b) Tentukan bayangan dari titik A (5,10) oleh translasi

                  T =

c) Tentukan bayangan dari titik A (1,2) oleh translasi T = (1,2) dilanjutkan oleh translasi U = (3,4)

Pembahasan
Bayangan dari titik A oleh suatu transformasi namakan A’ Dua model yang biasa dipakai sebagai berikut:

P (_a,_b)  A (x,y) = A’(x+a, y+b)

A (x,y)   T =          A’(x+a, y+b)

Hasilnya akan sama saja, hanya sedikit beda cara penulisan, sehingga:
a) Bayangan dari titik A (2, 3) oleh translasi T = (7, 8)

T (₇,₈)  A (2,3) = A’(2+7,3+8) = A’(9,11)

b) Bayangan dari titik A (5, 10) oleh translasi T =

A (₅,₁₀) T = A’(5+4,10+2) = A’(9,12)

c) Tentukan bayangan dari titik A (1,2) oleh translasi T = (1,2) dilanjutkan oleh translasi U = (3,4)

A (₁,₂) T = A’(1+1,2+2) = A’(2,4)

A’ (₂,₄) U = A’’(2+3,4+4) = A’(5,8)

2.      Refleksi (Pencerminan)

Adalah pemetaan suatu titik atau bangun dengan cara mencerminkannya pada suatu garis atau bidang.

Segitiga ABC dengan koordinat A(3, 9), B(3, 3), C(6, 3) dicerminkan:

·         terhadap sumbu Y menjadi segitiga A2B2C2 dengan koordinat A2(-3, 9), B2(-3, 3), C2(-6, 3)

·         terhadap sumbu X menjadi segitiga A3B3C3 dengan koordinat A3(3, -9), B3(3, -3), C3(6, -3)

·         terhadap titik (0, 0) menjadi segitiga A4B4C4 dengan koordinat A4(-3, -9), B4(-3, -3), C4(-6, -3)

Segitiga ABC dengan koordinat A(3, 9), B(3, 3), C(6, 3) dicerminkan:

·         terhadap garis x = -2 menjadi segitiga A5B5C5 dengan koordinat A5(-7, 9), B5(-7, 3), C5(-10, 3)

·         terhadap sumbu y = 1 menjadi segitiga A6B6C6 dengan koordinat A6(3, -7), B6(3, -1), C6(6, -1)

Segitiga PQR dengan koordinat P(6, 4), Q(6, 1), R(10, 1) dicerminkan:

·         terhadap garis y = x menjadi segitiga P2Q2R2 dengan koordinat P2(4, 6), Q2(1, 6), R2(1, 10)

·         terhadap garis y = -x menjadi segitiga P3Q3R3 dengan koordinat P3(-4, -6), Q3(-1, -6), R3(-1, -10)

Berdasarkan penjelasan diatas dapat dirumuskan :

Pencerminan terhadap garis x = a atau y = b

P (_x,_y)  Mx - a   P’(2a-x,y)

P (_x,_y)  My - b   P’(x,2b-y)

Pencerminan terhadap sumbu x atau sumbu y

P (_x,_y)  Mx     P’(x,-y) → matriks transformasi ;

P (_x,_y)  My     P’(-x,y) → matriks transformasi ;

Pencerminan terhadap titik (0, 0)

P (_x,_y)  M_(0,1)P’(-x,y) → matriks transformasi ;

Pencerminan terhadap garis y = x atau y = –x

P (_x,_y)  My=y     P’(-x,y) → matriks transformasi ;

P (_x,_y)  My= -x     P’(-y,-x) → matriks transformasi ;

Pencerminan terhadap garis y = mx + c

Jika m = tan θ maka:

Sin 2θ =  dan cos 2θ =

] = [ ] [ ] + [ ]

Contoh soal 

1.      Bayangan garis y = 2x + 2 yang dicerminkan terhadap garis y=x adalah

Pembahasan

Rumus dasarnya

P(x,y) → P’ (x’,y’)     (1)

Pencerminan terhadap garis y = x

P(x,y) → P (y,x)          (2)

Dari 1 dan 2 maka :

x’ = y       y’ = x           (3)

subsitusikan (3) ke garis y = 2x + 2

x’ = 2y’ + 2  → 2y’ = x’ -2

                            y’ =  - 1

hasil pencerminannya adalah y =  – 1

3.      Rotasi (Perputaran)

Adalah pemetaan suatu titik atau benda dengan cara memutarnya dari suatu pusat tertentu dengan jarak tetap. Jarak ini dinamakan jari – jari.

Untuk rotasi searah jarum jam, sudut diberi tanda negatif (–)

Untuk rotasi berlawanan arah jarum jam, sudut diberi tanda positif (+)

Segitiga ABC dengan koordinat A(3, 9), B(3, 3), C(6, 3) dirotasi:

·         +90° atau –270°  dengan pusat rotasi O(0, 0) menjadi segitiga A2B2C2 dengan koordinat A2(-9, 3), B2(-3, 3), C2(-3, 6)

·         +270° atau –90°  dengan pusat rotasi O(0, 0) menjadi segitiga A3B3C3 dengan koordinat A2(9, -3), B2(3, -3), C2(3, -6)

·         +180° atau –180° dengan pusat rotasi O(0, 0) menjadi segitiga A4B4C4 dengan koordinat A4(-3, -9), B4(-3, -3), C4(-6, -3)

Berdasarkan penjelasan diatas, maka rotasi dapat dirumuskan sebagai berikut:

Rotasi sejauh θ dengan pusat (a, b)

[ ] = [ ] [ ] + [ ]

Rumus praktis untuk rotasi dengan pusat rotasi O(0, 0):

P (_x,_y)  R( 0,90̊ )    P’(-y,x)

P (_x,_y)  R( 0,-90̊ )   P’(y,-x)

P (_x,_y)  R( 0,180̊ )   P’(-x,-y)

Contoh soal

1.      Vektor x diputar terhadap titik asal O sebesar θ ˂ 0 searah jarum jam. Kemudian hasilnya dicerminkan terhadap garis y = -x, menghasilkan vektor y. Jika y = Ax , maka matriks A= ......

Pembahasan

Matriks tranformasi untuk rotasi dengan pusat rotasi (0, 0) dan sudut putar -θ (searah jarum jam)

M₁= [

Matriks tranformasi untuk Refleksi terhadap y = -x

M₂= [

 x ditransformasi berturut-turut oleh M₁ dan M₂ menjadiy  dengan hubungan y = Ax , sehingga A adalah matriks komposisi dari M₁ dan M₂

A = M_{2 *} M₁

    = [  [

4.      Dilatasi (Perkalian)

Dilatasi atau perkalian adalah transformasi geometri yang mengubah ukuran suatu objek dengan factor skala tertentu terhadap suatu titik acuan.

            Transformasi Dilatasi

1.      Dilatasi dengan pusat O (0,0)

(a)                                                                        (b)

Pada gambar diatas telah dijelaskan bahwa dilatasi berarti pembesaran. Perhatikan gambar (a), titik A didilatasikan sebesar 2 dengan pusat O(0,0). Hasil dilatasi itu adalah A’. karena dilatasinya sebesar 2, maka diperoleh jarak O A’ sebesar dua kali OA.

Jika dilatasinya sebesar k dengan pusat O(0,0), maka dapat digambarkan seperti gambar (b) dan diperoleh hubungan berikut.

A(x,y) D(O:k) A’(x’,y’)

 

Dengan : D = dilatasi

                 K = factor skala dilatasi

                 O = pusat dilatasi (0,0)

2.      Dilatasi dengan pusat P(a,b)

   y                             

             y’ A’

                y                  A

                b

                    P(a,  b)       B     B’

   0         a       x      x’         x  

Perhatikan gambar diatas, segitiga PAB didilatasikan dengan skala k dan pusat  P(a,b). seperti yang telah diketahui bahwa panjang PB’ adalah k kali panjang PB, begitu juga untuk panjang PA’ juga sama dengan k kali panjang PA. jika koordinat A adalah (x,y), maka penurunan dilatasi ini dapat menggunakan analisis vector.

  = 

Jadi setiap titik A(x,y) yang didilatasikan dengan skala sebesar k dan pusat P(a,b) dapat diperoleh hasil dilatasinya dengan  rumus berikut.

A,(x,y) D(P,K) A’(x’,y’)

 

Dengan : D = dilatasi

                  P = pusat (a,b)

                 K = skala dilatasi

Contoh soal :

·         Bayangan titik (9, 3) oleh dilatasi [O, 1/3] adalah . . .

Jawab :

                      

                                   

2.3.         Sifat

1.      Translasi : Mengubah posisi objek, sedangkan bentuk dan ukuran    tetap.

2.      Refleksi    : Mengubah kedudukan objek, sedangkan bentuk dan ukuran tetap.

3.      Rotasi       : Mengubah kedudukan, sedangkan bentuk dan ukuran objek tetap.

4.      Dilatasi     : Mengubah kedudukan dan bentuk objek, sedangkan bentuk tetap.

2.4.         Aplikasi Transformasi Geometri

1)      Tempat Duduk Siswa

2)      Perpindahan Tempat Duduk Siswa

3)      Programmer game dalam membuat games.

Penerapan translasi terlihat pada pergerakan objek saat mengikuti visualisasi dari persamaan garis.

4)      Pada mikroskop atau alat pembesar.

Gambar di samping menunjukkan alat pembesar yang merupakan alat penting di laboratorium foto. Alat ini digunakan untuk memperbesar foto dari negatifnya (klisenya). Dengan menggerakkan film di depan lensa, memungkinkan untuk mengubah ukuran foto yang dihasilkan.

5)      Skala pada peta.

Pada umumnya skala peta bertuliskan 1:1000000 cm yang artinya jika skala pada peta 1 cm maka pada kenyataannya berjarak 1000000 cm

BAB III

PENUTUP

3.1. Kesimpulan

Adapun secara ringkas kesimpulan materi tentang transformasi geometri sebagai berikut :

a.       Translasi (pergeseran) adalah transformasi yang memidahkan setiap titik pada bidang dengan jarak dan arah tertentu.

b.      Refleksi (pencerminan) adalah translasi yang memindahkan setiap titik pada bidang dengan sifat pencerminan.

c.       Rotasi (perputaran) adalah transformasi dengan cara memutar objek dengan titik pusat tertentu.

d.      Dilatasi (perkalian) adalah transformasi yang mengubah ukuran bangun, tetapi tidak mengubah ukuran bentuknya.

3.2. Saran

Makalah ini dapat digunakan sebagai bahan untuk belajar geometri transformasi dimana dalam makalah ini membahas geomatri transformasi secara detail yang memuat refleksi, translasi, rotasi, dan dilatasi.

DAFTAR PUSTAKA

Damari, Ari, Matematika untuk SMA, Masmedia Buana Pustaka, Malang 2013.

Winarni Endang Styo, Sri Harmini, Matematika untuk PGSD, PT REMAJA ROSDAKARYA, Bandung 2016

http://benitri.blogspot.co.id/2014/04/geometri-transformasi.html

Marlangen, Selly. 2013. Transformasi Geometri.  http://sellymarlangen.blogspot.com. Diakses pada tanggal 15 April 2016