dilatasi geometri transformasi
MAKALAH DILATASI
PADA GEOMETRI TRANSFORMASI
Disusun untuk memenuhi tugas mata kuliah Geometri Transformasi
D
I
S
U
S
U
N
Oleh:
Amroni Syahbanda 35.15.1.0
Inke Nur East Borneo 35.15.1.007
Mawaddah 35.15.1.027
Yuli Kastria 35.15.1.015
FAKULTAS ILMU TARBIYAH DAN KEGURUAN
PENDIDIKAN MATEMATIKA
UNIVERSITAS ISLAM NEGERI
SUMATERA UTARA
MEDAN
2017
KATA PENGANTAR
Segala puji bagi Allah Swt, Tuhan
semesta alam, tiada Tuhan selain Dia. Yang mana karena-Nya lah kita masih
diberikan kesehatan, kesempatan serta umur yang panjang. sehingga sampai detik
ini kita masih dapat menikmati keindahan dunia ini.
Shalawat berangkaikan salam kita
haturkan kepada Nabi Muhammad Saw, seorang pemimpin yang amat terpimpin, yang
mana beliau telah membawa ilmu
pengetahuan kepada umat-umatnya sehingga kita dapat terlepas dari masa-masa
kebodohan dunia dan akhirat.
Adapun judul dalam makalah ini
adalah “ Dilatasi atau Perkalian”, yang merupakan
salah satu pokok pembahasan pada mata kuliah Geometri Transformasi. Begitu juga
rasa terima kasih kami ucapkan kepada dosen pembimbing mata kuliah Geometri
Transformasi di kelas PMM-1 semester V yang telah memberikan arahan dalam
penyusunan makalah ini sehingga dapat kami selesaiakan tepat pada waktunya.
Besar harapan kami sekiranya Ibu dapat menerima makalah yang kami susun ini.
Dengan disusunnya makalah ini,
kami juga berharap saran dan kritik yang membangun dari pembaca demi
kesempurnaan makalah ini di masa yang akan datang. Dan semoga makalah yang kami
susun ini kiranya mampu memberikan nilai yang bagus untuk kami serta bermanfaat
bagi pembaca.
Medan,
7 Oktober 2017
Penyusun
DAFTAR ISI
BAB I
PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang
Transformasi geometri adalah bagian dari geometri yang membicarakan
perubahan, baik perubahan letak maupun bentuk, penyajiannya didasarkan dengan
gamabar dan matriks. Defenisis transformasi sendiri ialah suatu pemetaan yang
memindahakan suatu titik atau suatu gambar (disebut benda) ke suatu titik atau
kesuatau gambar lain (bayangan).
Transformasi yang tidak mengubah bentuk
dan ukuran benda disebut transformasi isometri. Tiga transformasi yang
paling kita kenal, yaitu translasi (pergeseran), refleksi (pencerminan) dan
rotasi (perputaran) termasuk transformasi isometri, sedangkan dilatasi
(perbesaran) tidak termasuk transformasi isometri sebab dilatasi mengubah
ukuran benda.
Tanpa kita sadari dalam kehidupan sehari hari sering kali kita
melakukan hal-hal yang berhubungan dengan transformasi, misalnya saja ketika
kita berada didalam ruangan yang gelap kita menggunakan senter sebagai
penerangan dan kebetulan kita sedang memegang suatu benda datar kemudian kita
mengarahkan cahaya senter tersebut ke benda datar yang kita pegang maka pada
dinding dibelakang benda akan terlihat banyangan yang sebangun dengan benda
tersebut, oleh karena cahaya berasal dari sebuah bola lampu kecil dan tersebar
keluar dalam bentuk sebuah kerucut maka bayangan lebih besar dari pada benda
(diperbesar). Kejadian ini berkaitan dengan materi transformasi yang akan kami
bahas pada makalah ini, yaitu dilatasi (perkalian). Kejadian diatas dipengaruhi
oleh beberapa faktor ddilatasi salah satunya skala, oleh sebab itu pada makalah
ini kami akan membahas tentang dilatasi dan apa-apa saja yang berkaitan dengan
dilatasi/perkalian.
1.2 Rumusan Masalah
1.2.1
Bagaimanakah
yang dikatakan dilatasi atau perkalian ?
1.2.2
Bagaimanakah
perubahan ukuran bangun yang dipengaruhi oleh besarnya faktor skala pada
dilatasi ?
1.2.3
Bagaimanakah
dilatasi yang terbentuk dengan titik pusat (0,0) dan (a,b) ?
1.2.4
Bagaimana
matriks transformasi dilatasi dan komposisi dilatasi ?
1.3 Tujuan Penulisan
1.3.1
Untuk
mengetahui lebih dalam mengenai dilatasi atau perkalian.
1.3.2
Untuk
mengetahui lebih dalam mengenai perubahan ukuran bangun yang dipengaruhi oleh
besarnya faktor skala pada dilatasi.
1.3.3
Untuk
memaparkan mengenai dilatasi yang terbentuk dengan titik pusat (0,0) dan (a,b).
1.3.4
Untuk
mengetahui matriks transformasi dilatasi dan komposisi dilatasi.
BAB II
PEMBAHASAN
2.1 Pengertian Dilatasi (Perkalian)
Pada gambar 2.1 segitiga PQR
diperbesar menjadi bayangan segitiga P’Q’R’ oleh suatu transformasi tertentu.
Dengan transformasi ini hanya panjang sisi segitiga PQR dan luas segitiga PQR
yang diperbesar, sedangkan ukuran sudut sudut dari bentuk segitiga PQR tidak
berubah oleh transformasi tersebut.
Gambar
2.1
Pada
gambar 2.2 segitiga ABC diperkecil menjadi bayangannya segitiga A’B’C’ dari
titik N oleh suatu transformasi tertentu. Ukuran sudut sudut segitiga ABC tidak
berubah.Transformasi transformasi seperti
yang ditunjukkan pada gambar 2.1 dan gambar 2.2 di mana panjang sisi dan
luas gambar diperbesar atau diperkecil dari suatu titik tertentu, tetapi bentuk
dan ukuran sudut- sudut pada gambar tidak berubah disebut DILATASI.
Gambar 2.2
Jadi
DILATASI adalah transformasi yang mengubah ukuran (memperbesar atau
memperkecil) tetapi tidak mengubah
bentuk bangun dan ukuran sudutnya tetap. Dengan kata lain bayangannya sebangun
dengan bendanya. Secara umum perkalian (dilatasi) ada 2 hal yang perlu diperhatikan,
yaitu pusat
2.2 Faktor skala dalam dilatasi
Faktor skala (k) adalah perbandingan antara jarak titik
bayangan dari titik pusat dilatasi dan jarak titik benda berkaitan dengan titik
pusat dilatasi. Faktor skala (k) juga di definisikan sebagai perbandingan
antara panjang sisi tiap bayangan dan panjang sisi yang berkaitan pada
benda.
Faktor skala k =
=
Jika faktor skala k diberikan, bagaimanakah dengan
perbandingan antara luas bayangan dan luas benda. Maka perbandingan untuk faktor skala = k yaitu
Luas bayangan = k2. Luas benda
Pada dilatasi suatu
bangun faktor K akan menentukan ukuran dan letak bangun bayangan.
(I)
Jika K > 1, maka bangun bayangan diperbesar dan terletak
searah terhadap pusat dilatasi dan bangun semula.
(II)
Jika 0 < K < 1, maka bangun bayangan diperkecil dan
terletak searah terhadap pusat dilatasi dan bangun semula.
(III)
Jika -1 < K < 0, maka bangun bayangan diperkecil dan
terletak berlawanan arah terhadap pusat dilatasi dan bangun semula.
(IV)
Jika K < -1, maka bangun bayangan diperbesar dan terletak
berlawanan arah terhadap pusat dilatasi
dan bangun semula.
(V)
Jika K = 1, maka bangun tidak mengalami perubahan ukuran dan
letak.
(VI)
Jika K = -1, maka bangun tidak mengalami perubahan ukuran dan
terletak berlawanan arah terhadap pusat dilatasi dan bangun semula
Perhatikan gambar berikut;
|
K= -1
|
2.3 Menentukan Koordinat Bayangan oleh Dilatasi
1.
Menentukan Koordinat Bayangan Oleh Dilatasi [ O,K ]
Koordinat bayangan titik A (x,y) oleh
dilatasi [ O, k ] adalah titik A’ (kx,ky).
Dilatasi [ O,k ]:
x’ = kx
y’ = ky
Contoh:
Sebuah segitiga ABC dengan titik A(1,2), B(2,3) dan C(3,1)
didilatasikan terhadap titik O dengan faktor skala 2. Tentukan koordinat
bayangan titik-titik sudut segitiga ABC.
Penyelesaian:
Koordinat
bayangan titik – titik A, B, dan C masing-masing adalah
A(1,2)
A’(2(1), 2(2)) = A’(2,4) Gambar
B(2,3)
B’(2(2), 2(3)) = B’(4,6)
C(3,1)
C’(2(3), 2(1)) = C’(6,2)
Maka dilatasi yang terbentuk adalah
A’(2,4), B’(4,6), dan C’(6,2).
2.
Menentukan Koordinat Bayangan Oleh Dilatasi P(a,b)
Dilatasi pada titik pusat
P(a,b) absis x dan x’ maupun ordinat y dan y’.
Jadi, koordinat bayangan dari titik A
(x,y) oleh dilatasi [(a,b),k] adalah titik A’ (x’,y’) dimana
x’
= k(x-a) + a
y’
= k(y-b) + b
Contoh; Diketahui sebuah segitiga ABC
dengan titik sudut A(3,2), B(5,2) dan C (3,4). Jika segitiga ABC didilatasikan
-2 dengan pusat P(1,1). Tentukan bayangan segitiga ABC atau A’B’C’.
Penyelesaian:
A(3,2)
x’
= k(x-a) + a y’ = k(y-b) + b
x’
= -2(3 – 1)+ 1 y’ = -2(2-1)+1
x’
= -3 y’ = -1
B(5,2)
x’
= -2(5 – 1) + 1 y’ = -2(2-1) + 1
x’
= -7 y’ = -1
C’(3,4)
x’
= -2(3 – 1)+1 y’ = -2(4 - 1) + 1
x’
= -3 y’ = -5
jadi A’(-3,-1), B’(-7,-1), dan
C’(-3,-5).
Gambar
2.4 Matriks Transformasi Dilatasi
Telah diketahui bahwa persamaan transformasi dilatasi terhadap
pusat O dengan faktor skala k, ditulis [ O,k]. Untuk pemetaan dari ( x,y) ke
(x’,y’) dapat dinyatakan sebagai
x’ =
kx dan y’ = ky,
Sehingga
matrik transformasi untuk dilatasi [O,K] adalah :
M[O,k] =
Untuk memahami matrik transformasi tersebut,
marilah kita perhatikan contoh berikut ini.
Contoh;
Tentukan bayangan persegi OABC dengan O ( 0,0),
A(1,0), B(1,1) dan C(0,1) oleh dilatasi yang dinyatakan dengan matriks.
Penyelesaian;
O A
B C O A’ B’ C’
=
Koordinat bayangan titik titik O, A, B dan C
masing masing adalah O’ (0,0), A’(2,0), B’(2,2) dan C’(0,2).
Gambar
Pada gambar tampak bahwa, persegi OABC
mengalami perbesaran tapi bentuknya
tidak berubah.
Sedangkan matriks transformasi untuk dilatasi p [(a,b),k] adalah;
=
+
Contoh :
Tentukan bayangan titik P(2,−1) oleh dilatasi terhadap titik pusat A(3,4) dengan faktor skala (-3).
Penyelesaian ;
Jika P′(x′,y′) adalah koordinat titik bayangan yang dimaksud, maka
Tentukan bayangan titik P(2,−1) oleh dilatasi terhadap titik pusat A(3,4) dengan faktor skala (-3).
Penyelesaian ;
Jika P′(x′,y′) adalah koordinat titik bayangan yang dimaksud, maka
Jadi, bayangan titik
P(2,−1) oleh dilatasi terhadap titik pusat A(3,4) dengan faktor skala (-3)
adalah P(6,19).
2.5 Komposisi Pada Dilatasi
Artinya kita akan menerapkan beberapa transformasi pada sebuah
bangun, atau benda dimana semua transformasinya berupa dilatasi. Dilatasi dalam
perhitungannya juga menggunakan matriks transformasi yang juga berdasarkan titik pusat atau titik acuannya.
Apakah semua matriks, transformasinya bisa langsung dikalikan? Ternyata
jawabannya tidak, karena dua atau lebih matriks transformasi berordo 2x2 bisa dikalikan langsung dengan
syarat harus memiliki titik pusat yang sama.
Untuk memahami komposisi dilatasi, mari perhatikan contoh berikut:
1.
Titik B (-1,2)
didilatasi dengan faktor skala 4, dilanjutkan dilatasi dengan faktor skala -2
dan dilanjutkan lagi dengan dilatasi yang faktor skala nya
. Jika titik
pusat ketiga dilatasi tersebut sama, yaitu (3, -5) maka bayangan titik B adalah
?
Penyelesaian:
Tentukan
matriks dilatasinya
T1 → M1 =
(k = 4)
T2 → M2 =
(k = -2)
T3 → M3 =
(k =
)
Titik pusatnya sama, yaitu a,b (3,
-5)
Menentukan bayangan titik B (-1.2)
= (T3
° T2 ° T1) x
=(M3
. M2 . M1) x
=
x
=
x
=
+
=
Jadi bayangan titik B adalah B’ (19, -33)
2.
Tentukan
banyangan titik D (1,-3) jika dilatasi oleh faktor skala 2 dengan titik pusat
(2,1), dilanjutkan dengan dilatasi Fktor skala -3 dengan titik pusat (-3,1) ?
Penyelesaian :
Karena titik pusat kedua dilatasi berbeda, maka
kita kerjakan satu-satu
Dilatasi pertama: faktor skala 2 dan titik
pusat (2,1)
M1
=
(k = -2)
Banyang
titik D(1,-3):
= M1 x
+
x
+
=
x
+
=
+
=
Kita peroleh D’ = (0,-7).
Dilatasi kedua : faktor skala -3 dan titik
pusat (-3,1)
= M2 x
+
=
x
+
=
x
+
=
+
=
Kita peroleh banyangan D’’ (-12,25)
Jadi, banyangan titik D adalah D’’ (-12,25)
BAB III
PENUTUP
3.1 KESIMPULAN
1.
DILATASI adalah transformasi yang mengubah ukuran (memperbesar atau
memperkecil) tetapi tidak mengubah
bentuk bangun dan ukuran sudutnya tetap. Dengan kata lain bayangannya sebangun
dengan bendanya. Secara umum perkalian (dilatasi) ada 2 hal yang perlu diperhatikan,
yaitu pusat
2.
Faktor skala (k) adalah perbandingan antara jarak titik
bayangan dari titik pusat dilatasi dan jarak titik benda berkaitan dengan titik
pusat dilatasi.
3.
Titik pusat dilatasi yaitu O (0,0) dan P (a,b).
3.2 SARAN
Kami menyadari bahwasannya makalah ini masih
terdapat kekurangan di dalamnya. Maka dari itu kami mengaharapkan saran yang
membangun dari para pembaca. Semoga makalah ini bermanfaat bagi penyusun
khususnya dan bagi para pembaca umumnya.
DAFTAR PUSTAKA
Kanginan,Marthen.2013.MATEMATIKA 3 Untuk kelas XII Sekolah Menengah Atas
Program Ilmu Pengetahuan Alam.Bandung:Grafindo Media Pratama.
Mulyanti,Yanti.Dkk.2008.MATEMATIKA untuk SMA dan MA kelas XII Program Ilmu
Pengetahuan Alam. Jakarta:Pt. Piranti Darma Kalokatama.
Noormandiri, B.K. 2007. MATEMATIKA JILID 3A Untuk kelas XII Sekolah
Menengah Atas Program Ilmu Pengetahuan Alam. Jakarta: Erlangga.
youtube.com - YouTube
BalasHapusyoutube.com. youtube.com. youtube.com. youtube.com. youtube.com. youtube to mp3 conconventer youtube.com. youtube.com. youtube.com. youtube.